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De Morgan'sche Gesetze

 

Manfred Aulbach, 08.12.2008

 

Die De Morganschen Gesetze

    1. 

    2.    =  

Dabei sind und Teilmengen einer Obermenge (Omega). Die Obermenge enthält sowohl   als auch   (non A), als auch (= non B). Was soll man sich darunter vorstellen?

In der dt. Wikipedia wird glücklicherweise (ganz unten) ein Beispiel gegeben.

http://de.wikipedia.org/wiki/De_Morgansche_Gesetze

Die Obermenge besteht in diesem Beispiel (das ich der Einfachheit halber leicht verändert habe) aus einer (bestimmten) Menge von Messern, die einer Qualitätsprüfung unterliegen:

 bedeutet die Menge der Messer, deren Schneide fehlerfrei ist.

 bedeutet die Menge der Messer, deren Griff fehlerfrei ist.

Ein Messer wird nicht angenommen, wenn es

entweder oder ist,   oder    und gleichzeitig ist. D.h.   und/oder   ist;

also entweder eine fehlerhafte Schneide oder einen fehlerhaften Griff oder beides hat.

In Mengenschreibweise ist dieses “und/oder” das nicht-ausschließende “Oder” der sog. Mengenvereinigung   . (Wobei dieser Ausdruck “Vereinigungsmenge” meiner Ansicht nach irreführend sein kann, da man unwillkärlich die Addition von Elementen mit dem Ausdruck “Vereinigung” assoziiert. Besser wäre es zu sagen: “und/oder”-Menge. Damit ist gemeint: Die Eigenschaften haben bezüglich eines mehrere Aspekte umfassenden Begriffs (von z.B. “Schlecht”) das und/oder-Verhältnis zueinander).

Also im Beispiel: die schlechten, an Griff und/oder Schneide fehlerhaften Messer, die aussortiert werden.

1. Anmerkung: Die Mengenvereinigung entspricht der logischen nicht ausschließenden Oder-Beziehung, dem lateinischen Vel. () .

Ein Messer wird angenommen, wenn es beiden Anforderungen   und definitiv genügt. Es handelt sich hier also um das logische “Und”  () (auch manchmal geschrieben). Man nennt dies in der Mengenlehre die “Schnittmenge”.

2. Anmerkung: Das logische “Und” entspricht in der Mengenlehre dem sog “Mengen-Durchschnitt”, oder auch “Schnittmenge” genannt, was ebenfalls ein merkwürdiger Ausdruck ist, der offenbar von dem, meiner Ansicht nach irreführenden, Spezialfall der Venn-Diagramme stammt (vgl. dazu weiter unten meine zusätzliche Ergänzung zur 3. Anmerkung). Das logische “Und” drückt das “Sowohl-als-auch” von (verschiedenen) Eigenschaften aus. Ein Messer wird angenommen, wenn gilt: (d.h. beide positiven Eigenschaften müssen gleichzeitig gelten).

3. Anmerkung: Das bedeutet weiterhin: Echte Schnittmengen zweier Mengen haben (mindestens) zwei definitiv verschiedene Eigenschaften gemeinsam. Es geht also nicht darum, daß zwei verschiedene Mengen A und B irgend eine Gleichheit gemeinsam haben, damit sie eine Schnittmenge bilden, also z.B. Äpfel (A) und Birnen (B), deren Gemeinsamkeit in Wurmstichigkeit (W) besteht. - Die Gleichheit besteht lediglich in einer Obereigenschaft mit mehreren Aspekten, wie im obigen Beispiel: Obereigenschaft Ausschuß bezüglich Aspekt nonA und Ausschuß bezüglich Aspekt nonB. Die Eigenschaften nonA und nonB dürfen nicht gleich sein. (Sie müssen auch definitiv ungleich sein; d.h. sie dürfen sich nicht überschneiden, wonach die eine Eigenschaft teilweise in der anderen enthalten ist, z.B. mindestens 3-Schartigkeit und mindestens 5-Schartigkeit bei den obigen Messern). Wenn Äpfel und Birnen die Obermenge (Ä-B) wäre und es würde lediglich nach einer Eigenschaft gesucht (W), dann könnte es keine Schnittmenge geben, da eine Schnittmenge (das logische Und) mindestens zwei definitiv verschiedene Eigenschaften beinhalten muß. - Beim Äpfelbeispiel könnten die beiden verschiedenen Eigenschaften z.B. Wurmstichigkeit und Fleckigkeit sein. (Dieser grundlegend wichtige Sachverhalt wird - obwohl er meiner Ansicht nach keineswegs trivial ist - von formalistischen Autoren üblicherweise nicht geklärt.)

Zusätzliche Ergänzung: Wenn diese Ansicht der 3. Bemerkung stimmt, so ist die übliche Veranschaulichung vom Durchschnitt durch das sog. Venn-Diagramm (zwei sich überschneidende Kreise) mindestens irreführend, wenn nicht sogar falsch. Nämlich insofern, als man annimmt, die Schnittmenge seien die gemeinsamen Punkte der beiden Kreise (also diejenigen Punkte mit den gleichen Koordinaten). Genau dies wird m.E. fälschlicherweise auch in dem Wikipedia-Artikel über Mengendiagramm gesagt: “(Durchschnitt); A geschnitten mit B, also alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.”. Dieser “Durchschnitt” der beiden sich überschneidenden Kreise ist dort dementsprechend in einer (roten) Farbe gezeichnet. Es handelt sich also nicht mehr um zwei definitiv zu unterscheidende Eigenschaften von A und B sondern um eine gemeinsame Eigenschaft von A und B. Das Venn-Diagramm wird meiner Ansicht nach aber erst dann richtig und sinnvoll, wenn es sich um zwei Kreise (A und B)  handelt, deren Inhalt aus Punkten mit je unterschiedlicher Farbe besteht. Also A beinhaltet beispielsweise rote Punkte und B beinhaltet beispielsweise blaue Punkte. Dann ist die Schnittmenge diejenige Menge (von Gegenständen), bei denen beide Eigenschaften, die hier mit rot und blau symbolisiert sind, gleichzeitig vorhanden sind. Also beispielsweise gute Klingen und gute Griffe gleichzeitig. - Das Problem wird von mir an anderer Stelle genauer abgehandelt, nämlich hier.

4. Anmerkung: Ganz allgemein kann man offenbar sagen: Die de Morganschen Gesetze beinhalten die Logik von Gut und Schlecht (von dem einen Sachverhalt und seinem Gegenteil), die wir Tag für Tag anwenden.

Die “Guten” (Positiven) sind also und die “Bösen” (Negativen) sind .

Aufgrund der Zweiwertigkeit der hier angewandten ‘klassischen’ Logik (entweder Ja oder Nein und nichts dazwischen) gilt: Die Guten (Positiven) können nicht die Bösen sein und umgekehrt.

Oder anders ausgedrückt: die Nicht-Guten sind die Bösen (Negativen) und die nicht-Bösen sind die Guten (die nicht-Negativen sind die Positiven).

Wenn die Guten sind, so sind die Nicht-Guten das Gegenteil von ihnen, also: . Und diese wären somit gleich den Bösen, also . Das ist aber genau das erste der beiden De Morganschen Gesetze:

            1.   =  .

Man kann auch sagen: Die Guten haben nix Böses an sich. Sobald auch nur etwas Böses vorhanden ist (entweder   oder oder gar beides) ist alles zu spät, sind sie nicht mehr gut. D.h. die Guten sind ausschließlich nur gut, sie dürfen nix Böses an sich haben. Dies ist unsere typisch deutsch -perfektionistische Sichtweise.

  • Man kann aber auch die lässigere 'türkische' Sichtweise verwenden: Die Schlechten haben absolut nix Gutes an sich. Sobald Irgendwas auch nur etwas Gutes an sich hat, ist es gut. Die Guten können beliebig viel Schlechtes an sich haben, Hauptsache sie sind in einem Punkt gut. Das könnte man 'türkischerweise' auf das Messer-Beispiel anwenden: Alle Messer sind gut, wenn sie wenigstens eine gute Klinge haben oder wenigstens einen guten Griff. Nur wenn sie beides nicht haben, werden sie zum Ausschuß geworfen.
  • Dies ist übrigens tatsächlich die Interpretation des 2. De Morganschen Gesetzes - siehe unten.

Damit wäre die Plausibilität der 1. De Morganschen Regel aufgezeigt. Die Beweisführung folgt weiter unten.

1. De Morgansche Regel ('deutsch'):  Die Schnittmenge derjenigen, die nur-Gutes an sich haben ist das Gegenteil der Vereinigungsmenge der irgendwie Schlechten.

 

Wie sieht es nun mit der 2. Regel aus?

    2.    =  

Braucht man dafür ein neues Beispiel oder kann man bei dem alten bleiben?

 würde bedeuten: sowohl schlechte Klingen, als auch schlechte Griffe. Die haben überhaupt nix Gutes an sich. Das Gegenteil wären solche, die wenigstens etwas Gutes an sich haben. Die hätten entweder oder oder gar beides. Dem entspricht das logische Vel: das “und/oder” und damit die Vereinigungs-Menge der Mengenlehre.

Das Gegenteil der ganz und gar Schlechten wäre also , die wenigstens irgendwo noch was Gutes an sich haben - besser noch wäre natürlich, sie wären ganz und gar gut.

Aufgrund der Zweiwertigkeit sind das Gegenteil derjenigen, die wenigsten etwas Gutes an sich haben diejenigen, die überhaupt nix Gutes an sich haben - und umgekehrt. Man sollte hier auf einen geläufigen Trugschluß der (affektiv geprägten) Alltagslogik hinweisen, wonach das Gegenteil gerne mit dem absoluten Gegenteil identifiziert wird. Nach dieser Alltagslogik ist das Gegenteil von Bussen, die immer unpünktlich sind, solche Busse, die ständig pünktlich sind. Während nach der rationalen Logik das Gegenteil lediglich solche Busse wären, die wenigstens manchmal - wenn auch noch so selten - pünktlich sind, die also nicht immer unpünktlich sind.

Das Gegenteil derjenigen, die wenigsten etwas Gutes an sich haben wäre: . Und diese sind gleichbedeutend mit den Abgrund-Schlechten:  .

Man kann auch sagen: es handelt sich hier um die 'türkische' Sichtweise des Guten vs. Schlechten (im Gegensatz zur deutsch-perfektionistischen): Die Schlechten haben absolut nix Gutes an sich. Sobald Irgendwas auch nur etwas Gutes an sich hat, ist es gut. Die Guten können beliebig viel Schlechtes an sich haben, Hauptsache sie sind in einem Punkt gut. Das könnte man 'türkischerweise' auf das Messer-Beispiel anwenden: Alle Messer sind gut, wenn sie wenigstens eine gute Klinge haben oder wenigstens einen guten Griff. Nur wenn sie beides nicht haben, werden sie zum Ausschuß geworfen - sind somit Scheißendreck.

Folglich ist damit auch das 2. De Morgansche Gesetz verplausibilisiert. (Die Beweisführung folgt weiter unten).

      2.    =

2. De Morgansche Regel ('türkisch'): Die Schnittmenge derjenigen mit nur schlechten Eigenschaften ist das Gegenteil der Vereinigungsmenge der irgendwie Guten.

 

5. Anmerkung: Die De Morganschen Gesetze setzen übrigens voraus - und mit ihnen der Begriff Schnittmenge - , daß es sich nicht um ausschließende Eigenschaften handeln darf, sondern die Eigenschaften müssen zwar verschieden, aber dennoch kompatibel miteinander sein. (Sowas ‘triviales’ sagt einem natürlich ebenfalls kein formalistisches Lehrbuch.)

Beispiel:

Die Lieblingsfarben bei Katzen sind für mich getigert und einfarbig-schwarz. Aber es kann keine Schnittmenge von getigerten und schwarzen Katzen geben, die also definitiv beide Eigenschaften gleichzeitig haben: getigert und schwarz zu sein. Das Gleiche gilt für männlich und weiblich. Im Falle der Nicht-Kompatibilität muß ich unterschiedliche Obermengen bilden, um weiterzukommen. Wenn ich also eine Zeitungsannonce aufgebe, in der ich Katzen suche, muß ich die Menge der Antworten von vornherein in zwei Obermengen aufteilen:

Ich bilde die Obermenge GET der getigerten Katzen und die Obermenge SCHW der schwarzen Katzen. Erst dann kann ich jeweils Untermengen bilden, die miteinander kompatibel sind: z.B. mit den Eigenschaften kann jagen (J), ist stubenrein (S), ist männlich (M) bzw. jeweils das Gegenteil, usw.

Nehmen wir mal an, ich habe mich von vornherein dafür entschieden: Die Katze, die ich haben will muß getigert (G) sein, soll stubenrein (S) sein und soll weiblich (W) sein, weil unsere frühere Lieblings-Katze auch so war. Das sind 3 kompatible Ansprüche, sodaß also für alle ‘guten’ Katzen der Angebote aus meiner Zeitungsannonce gilt: . Entsprechend wären die Katzen, die nicht in Frage kommen der Rest, für die also gilt: sie sind entweder nicht G oder nicht S oder nicht W oder erfüllen gar 2 oder sogar 3 von diesen Forderungen nicht:  . Hier sieht man schon die Ausweitung des 1. De Morganschen Gesetzes, von 2 auf 3 Eigenschaften:

          =

Es ist klar, daß man die Methode auf beliebig viele solcher kompatiblen Eigenschaften ausweiten kann (die Katze soll Trockenfutter gern essen, sie soll ein bestimmtes Gewicht nicht überschreiten, sie soll sterilisiert sein, einen Impfpaß haben, sie soll noch jung sein, usw.). In der Realität würde das bedeuten, daß solch eine Katze innerhalb des Angebotpools meiner Zeitungsannonce zu finden um so unwahrscheinlicher wird, je weiter ich die Anzahl meiner Forderungen hochschraube.

Von dieser praktischen Überlegung her müßte sich die Schnittmenge bei wachsender Zahl der Eigenschaften immer mehr der Nullmenge annähern, sofern der Auswahlpool begrenzt ist. (Wie sieht das der Mathematiker? Gehört diese Frage evtl. in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung?)

6. Anmerkung: Da in der Mathematik lt. planetmath.org [Link ist mittlerweile, 03.09, tot] der allgemeine Beweis sowohl für finite als auch abzählbare (also auch abzählbar-unendlich) viele als auch für unabzählbar viele (z.B. Menge der reellen Zahlen) Eigenschaften gilt, frage ich mich selbstverständlich: was hat das zu bedeuten? (Vgl. die unten als Jpg-Bild dargestellte allgemeine Beweisführung, der erste Satz.)

Unter abzählbar unendlich vielen (erst recht: nicht-abzählbar unendlich vielen) untereinander kompatiblen Eigenschaften Ai (einer Katze beispielsweise), zu denen es auch noch die entsprechenden Komplementäreigenschaften (non Ai) geben muß, kann ich mir leider als Anwendungsbeispiel für die de Morganschen Gesetze nichts vorstellen.

Wenn jemand ein plausibles Beispiel im Zusammenhang mit den de Morganschen Gesetzen bringen kann, möge er/sie mir dies bitte mitteilen:    Email an:       manfred@aulbach-giessen.de

Da die diesbezüglichen Behauptungen (countable & uncountable) von planetmath.org ohne jeglichen Versuch einer Verplausibilisierung erfolgten, sehe ich, nach diversen eigenen erfolglosen Bemühungen, diese Behauptungen erst einmal als suspekt an. (Vgl. auch unten 7. Anmerkung).

 

Zunächst aber jetzt die Beweisführung für die 2 Eigenschaften  und :

Die Standard-Methode, um Gleichheit von Mengen zu beweisen, ist die Regel: wenn die Menge N in M enthalten ist (N ist Teilmenge von M) und umgekehrt, ebenfalls die Menge M in N enthalten ist , dann sind die Mengen gleich, d.h. . Dies wird wird bewiesen, indem gezeigt wird,

a) daß ein beliebiges auch gleichzeitig ist und

b) daß ein beliebiges auch gleichzeitig ist.

Wichtig ist hier die für mathematische Beweisführungen oft vorkommende Formulierung ‘beliebig’. In diesem Fall hat sie die Bedeutung von “ausnahmslos”: Für ausnahmslos alle Elemente x von N gilt: sie sind gleichzeitig auch Elemente von M.

Ein konkretes Beispiel wirkt in der Lebensrealität sehr künstlich: Für den trivialen Pleonasmus gilt beispielsweise: ausnahmslos alle ganz weißen Pferde sind Schimmel und ausnahmslos alle Schimmel sind ganz weiße Pferde, also sind Schimmel und ganz weiße Pferde identisch. (Sollte dies die Wittgenstein’sche Ansicht bestätigen, daß es die Logik im Prinzip lediglich mit tautologischen Umformungen zu tun habe?)

Jetzt zum Beweis:

    Die 1. De Morgansche Behauptung:

    1.  . Oder abgekürzt

a) Voraussetzung: Sei ein beliebiges gegeben. Aufgrund der Zweiwertigkeit der Logik (entweder Ja oder Nein und nichts dazwischen) folgt daraus: . Das bedeutet aber:  x hat auf keinen Fall die Doppeleigenschaft sowohl  als auch zu sein.

x könnte somit entweder zu den non-A's    oder zu den non B’s    gehören als auch zu den mit beiden non-Eigenschaften gleichzeitig, m.a.W. es gilt: = M. Somit ist .

b) Voraussetzung: Sei ein beliebiges gegeben. D.h. x ist entweder non-A oder non-B  oder  beides. Dann könnte x höchstens eine der Eigenschaften oder haben, auf keinen Fall aber beide. Denn hätte x beide Eigenschaften und , so könnte es weder non-A noch non-B sein. M.a.W. .

Aufgrund der Zweiwertigkeit folgt dann: . D.h. . Somit ist .

Da sowohl als auch gilt, ergibt sich .  w.z.b.w

 

    Die 2. De Morgansche Behauptung:

    2.    =   oder abgekürzt

a) Voraussetzung: Sei ein beliebiges gegeben. Daraus folgt wegen der Zweiwertigkeit der Logik:  . D.h. x hat weder die Eigenschaft noch , geschweige denn beide. Denn wenn es eine der Eigenschaften hätte, wäre es Element von . D.h. x kann nur die Eigenschaft haben, sowohl non-A als auch non-B zu sein. D.h.   = T. Somit .

b) Voraussetzung: Sei ein beliebiges gegeben.

Daraus folgt und gleichzeitig . Somit kann x weder Element von noch von oder von beiden sein: D.h. .Somit gilt für x (aufgrund der Zweiwertigkeit der Logik): = S .  D.h. .

Da sowohl gilt, als auch gilt, ergibt sich .   w.z.b.w.

 

Hier jetzt die als Jpg-Bild dargestellte allgemeine Beweisführung (für beliebig viele Eigenschaftsaspekte einer Obermenge X) aus der folgenden Internetadresse:

http://planetmath.org/?method=png&from=objects&id=4134&op=getobj

[Link ist mittlerweile tot - März 2009]

Vorneweg zu beachten ist, daß  das von Wikipedia als  zweites Gesetz aufgeführte  - und dementsprechend auch bei mir das 2. Gesetz ist -  hier bei planetmath jedoch als das erste (“the first claim”) genommen wird. Was ja im Prinzip völlig wurscht ist.

Wie man sieht, ist der Beweis mit einem Minimum von sprachlichem Inventar (‘Beiwerk’) versehen. Er ist maximal formalisiert. Man hat das Gefühl von einem bleichen Untoten eines Beweises, dem jegliches Blut ausgesaugt wurde.

Es handelt sich prinzipiell um die gleiche Beweisführung, wie ich sie oben für die beiden Eigenschaften A und B dargestellt habe. Nur müßte man dort stattdessen A1 und A2 für A und B einsetzen. Die Indexe i  werden aus einer (arbitrary = beliebigen) Indexmenge I (groß i) genommen. Das hat den Vorteil, daß man nicht an den endlichen Mengen natürlicher Zahlen für die Indizes kleben bleibt. (Dazu weiter unten). Die logische Negation (bzw. die Komplementmenge, die Gegenteil-Menge) wird hier kurz und Furz mit einem Apostroph-Zeichen (A’) ausgedrückt. Die Vereinigung vieler Mengen Ai  wird statt mit einem kleinen u mit einem großen U angedeutet. Ebenfalls wird die Schnittmenge vieler Mengen Ai statt mit einem kleinen ∩ mit einem großen ∩, ausgedrückt.

Witzig ist der kurz und bündige Hinweis, daß sich ja der zweite Teil des Beweises (“The second claim”) auf den ersten Teil reduzieren läßt, wenn man statt Ai einfach Ai’ nimmt - was einem ja keiner verbieten kann. Dann ergibt sich ganz formell offenbar das andere de Morgansche Gesetz (bei uns ist es das erste, was bei planetmath das zweite de Morgansche Gesetz ist):

        (U von Ai’ )’ = ∏ von Ai

Also in unserem zwei-Eigenschaften-Gesetz für A und B:

         =      oder ein bißchen umgeformt:      =  , was in der Tat unser obiges erstes De Morgansche Gesetz ist.

Diesem formal-algebraischen Zaubertrick fehlt allerdings jegliche Inhaltlichkeit - und ich persönlich verspüre eine Blockade, mir da überhaupt noch was vorstellen zu können. Doch kann ich mir die Sache anhand des obigen Beispiels der beiden Zwei-Eigenschafts-Gesetze folgendermaßen klar machen:

Die Verplausibilisierung der De Morganschen Gesetze lautete dort:

1. Die Schnittmenge derjenigen, die nur Gutes an sich haben, ist das Gegenteil der Vereinigungsmenge der irgendwie Schlechten. (‘Deutsche’ Variante)

2. Das Gegenteil der Vereinigungsmenge der irgendwie Guten, ist die Schnittmenge derjenigen, die nur Schlechtes an sich haben. (‘Türkische’ Variante)

Wenn man also in 1. oder in 2. “Schlecht” durch “Gut” vertauscht - und umgekehrt, erhält man jeweils das andere De Morgansche Gesetz:

1->2. Die Schnittmenge derjenigen, die nur Schlechtes an sich haben, ist das Gegenteil der Vereinigungsmenge der irgendwie Guten. (‘Deutsche’ Variante wird zur türkischen Variante)

2->1. Das Gegenteil der Vereinigungsmenge der irgendwie Schlechten, ist die Schnittmenge derjenigen, die nur Gutes an sich haben. (‘Türkische’ Variante wird zur deutschen Variante)

An und für sich ist es klar (‘logisch’), daß es so sein muß, da ‘Schlecht’ (Negativ) und ‘Gut’ (Positiv) ja rein relativ ist, daß man also die Sache ohne Weiteres vertauschen kann. Deshalb müssen es auch genau 2 De Morgansche Gesetze sein! Auch hier wieder beschleicht einem eine Wittgensteinsche Ahnung, daß es sich bei der Logik um Umformungen von Tautologien handeln könnte. Denn der Begriff ‘Gut’(Positiv) beinhaltet implizit sein Gegenteil ‘Schlecht’ (Negativ) - und umgekehrt. Und dafür muß es (‘logischerweise’) zwei Bedeutungen (zwei sozusagen symmetrische Varianten, die deutsche und die türkische) geben. Das sind dann die beiden De Morganschen Gesetze.

 

7. Anmerkung: Um nun noch einmal auf die folgende Sache zurückzukommen: Da  lt. planetmath.org der allgemeine Beweis sowohl für finite als auch abzählbare (also auch abzählbar unendlich) viele als auch für unabzählbar viele (z.B. Menge der reellen Zahlen) Eigenschaften gilt, frug ich mich was hat das zu bedeuten? (Vgl. die oben als Jpg-Bild dargestellte allgemeine Beweisführung, der erste Satz.)

Dazu war mir als Beispiel die graduelle Unterscheidung von Eigenschaften eingefallen. Z.B. ein Kreis nähert sich graduell dem Null-Punkt, je kleiner man den Radius macht. An jeder unterschiedlichen Stelle des Radius hat der Kreis eine andere Eigenschaft. Z.B. an der Stelle π (pi)  hat er die Eigenschaft: Kreis mit dem Radius π = 3,1415926...  zu sein. (π ist eine irrationale Zahl, d.i. ein unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch). Wenn der Radius bei 20 cm  losgeht, verändert er sich kontinuierlich, wenn er die verschiedenen Meßpunkte hin zu 0 cm durchläuft. Als physikalisches Beispiel kann man einen einfachen Kinderluftballon nehmen, für den das gleiche Prinzip gilt: er durchläuft kontinuierlich alle möglichen Meßpunkte bis er zusammengeschrumpft ist, wenn man die Luft raus läßt, oder bis er platzt, wenn man ihn aufbläst. An jeder Stelle hat der Luftballon eine andere Eigenschaft: seine Oberfläche oder sein Rauminhalt ist soundso groß usw. Die Menge aller möglichen solcher Meßpunkte wäre die Indexmenge I. Die einzelnen Indexe i durchlaufen somit die (nicht abzählbar unendlich große) Menge der reellen Zahlen (z.B. zwischen 20 und 0). Die Indizes durchlaufen folglich das Kontinuum (im Beispiel u.a. auch die Zahl 7,428 oder die Zahl π). - Aber bei dem Versuch, diese Angelegenheit mit den de Morganschen Gesetzen in Verbindung zu bringen, bin ich nicht weitergekommen, da ja diese kontinualen Eigenschaften zu einer eigenen speziellen Eigenschaft zusammengefaßt werden können: Katzenhaare mit der Länge zwischen 2 und 4 cm bilden zwar eine kontinuierliche Menge von Eigenschaften - diese Menge kann jedoch problemlos zu einer einzigen Eigenschaft zusammengefaßt werden. (Vgl. auch oben 6. Anmerkung). - Im Übrigen frage ich mich, ob Indices in der Mathematik nicht prinzipiell reserviert sind dafür, daß sie die natürlichen Zahlen durchlaufen und sonst nix.

____________________________________

 

Ich möchte zum Schluß noch auf eine merkwürdige Beweisführung eingehen, die sich in der Wikipedia (ziemlich unten)  unter dem Obertitel  “Beispiel in der Mengenlehre ” findet. Es handelt sich um eine äußerst wortkarge (und reichlich unverständliche) Tabellenkonfiguration - der Leser soll zusehen, wie er damit klar kommt. Dennoch hat die Auseinandersetzung damit (gemeinsam mit meinem Mathematik-Kollegen Roberto) zu überraschenden Ergebnissen geführt.

Ich werde versuchen, die Tabellenkonfiguration auf meine eigene Weise zu interpretieren.

Die Behauptung bei Wikipedia ist offenbar,  daß die drei blauen Bereiche - als Komplementärmenge zu -  zusammen gleich ergeben, da dies ja schlußendlich das 1 Gesetz ergeben soll: 1.  . Nur ist völlig unklar, wie das vonstatten gehen soll. Wie kommt es dazu, daß gilt:

  ? ?   →?    ?

Erstens ist klar, daß es sich hier sozusagen um 4 ‘Schubladen’ handelt. In die 1. Schublade kommen alle guten Messer , wo sowohl Griff als auch Schneide gut sind. In die 2. Schublade kommen alle Messer, wo einerseits die Schneide schlecht ist, aber der Griff gut: . In die 3. Schublade kommen alle, wo einerseits die Schneide gut ist aber der Griff schlecht ist: . In die 4. Schublade kommen alle, wo sowohl die Schneide schlecht ist als auch der Griff schlecht ist: . Damit sind alle Denkmöglichkeiten erfaßt: In den 4 Schubladen finden sich sämtliche Messer sortiert und es gibt keinerlei Überschneidungen.

Zweitens ist klar: Die drei blauen Bereiche bilden zusammen die Komplementärmenge zu dem grauen Bereich: Es handelt sich ja bei den blauen Bereichen um alle diejenigen Schubladen, in denen Messer sind, die irgendwie schlecht sind - sei es an der Schneide oder am Griff oder an beidem. Während der graue Bereich aus den rein guten Messern besteht.

Drittens - die Lösung ist ziemlich einfach, wenn man statt nach einer Folgerungs-Beziehung ( →) zu suchen den gordischen Knoten durchhaut und anerkennt, daß es sich bei den 3 blauen Feldern um nix anderes handelt als um eine exakte Definition der und/oder - Beziehung der ‘schlechten’ Messer: entweder sind es schlechte Schneiden (zusammen mit guten Griffen) oder schlechte Griffe (zusammen mit guten Schneiden) oder beides ist schlecht: Schneiden und Griffe. Eine Formalisierung könnte dann so aussehen:

  Æ Æ   Definition:  wobei das Zeichen Æ markieren soll, daß es sich hier um die ausschließende Oder-Beziehung handelt, das Entweder-Oder. Somit ergibt sich die Gleichheit durch Negation der Komplementärmenge zu den drei blauen Bereichen :

    1.  , womit das 1. De Morgansche Gesetz bewiesen wäre.

Das wiederum führt einem wieder verdammt nahe an die Wittgenstein’sche Ansicht heran, daß es sich bei der Logik, speziell jetzt hier bei dem 1. De Morganschen Gesetz, um tautologische Umformungen handelt. Denn in der Tat steckt ja in dem “nur” implizit als Gegensatz schon das “irgendwie” drin (und umgekehrt). Beide Gegenbegriffe leben dialektisch voneinander. Der eine wird erst durch den anderen verständlich und präzis. Es handelt sich also um nichts weiter als um eine versteckte Tautologie, wenn man anerkennt, daß die Nur -Guten auch die Irgendwie-Schlechten (‘logischerweise’) als Gegenteil implizieren. Und nichts anderes besagt ja das 1. De Morgansche Gesetz, wonach das Gegenteil der Nur-Guten gleich der Irgendwie-Schlechten ist. Die behauptete Gleichheit ist hier offenbar dasjenige, was kontra-intuitiv ist. Ansonsten wäre die Sache ja sonnenklar. Inwieweit man mit dieser Gleichheitsgeschichte dann einen wichtigen Schritt weiter kommt, das wäre dann die nächste Frage. So heißt es in der Wikipedia über De Morgan. Diese Gesetze besagen:

“...dass jede Konjunktion durch eine Disjunktion ausgedrückt werden kann und umgekehrt. Diese Gesetze wurden seither häufig bei mathematischen Beweisen und auch bei der Programmierung verwendet.”

Über “Anwendung” heißt es in der Wikipedia zu diesen Gesetzen:

“Die De Morganschen Gesetze haben wichtige Anwendungen in der diskreten Mathematik, der Elektrotechnik, der Physik und der Informatik. Die De Morganschen Gesetze werden häufig in der Entwicklung digitaler Schaltkreise genutzt, um die Typen verwendeter logischer Schaltelemente gegeneinander auszutauschen, oder Bauteile einzusparen.”

 

Nun noch zum Beweis des 2. De Morganschen Gesetzes mit Hilfe jener Tabelle. Es ist zu beweisen 2.    = . In diesem zweiten Fall gehe ich von der rechten Seite der Gleichung aus (das weinrote Feld). Die Komplementärmenge dazu sind die 3 blauen Felder. Ich will also von den 3 blauen Feldern zu dem Ausdruck kommen, dessen Negation dann gleich ist dem weinroten Feld.

 

Wie man erkennt, sind die drei blauen Felder alle dadurch gekennzeichnet, daß sie entweder einen positiven oder sogar zwei positive Anteile besitzen, während das weinrote Feld die konzentrierte negative Ladung enthält. Man kann bei der Formalisierung wieder ganz analog zu oben verfahren:

         Æ     Æ     Definition: . Dies ist also die Komplementärmenge

von . Somit ergibt sich die Gleichheit durch Negation der Komplementarität:

            = .   w.z.b.w.