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Was ist die 'Schnittmenge'?

 

04.02.09

(Manfred Aulbach)

 

Was ist in der Logik und Mengenlehre der ‚Durchschnitt’ bzw. die ‚Schnittmenge’?

 

Es geht mir bei diesem Aufsatz um das Problem, daß es offenbar zwei verschiedene Begriffe von ‘Schnittmenge’ gibt. Ich versuche dieses Problem erstens darzustellen und zweitens zu klären.

 

Fall 1:

Üblicherweise wird unter ‘Schnittmenge’ das, was zwei oder mehr (Personen, Dinge, Angelegenheiten) gemeinsam haben, verstanden. Z.B. ein Musiker trifft auf einen anderen Musiker, dann erkunden sie, wo ihre „gemeinsame Schnittmenge“ liegt. Darin können sie was miteinander anfangen, ansonsten nicht. Sie interessieren sich beispielsweise beide für Blues, das ist ihre ‚Schnittmenge’, aber der Eine außerdem noch für Free Jazz, was dem Anderen ein Greuel ist, während der Freejazzer einen Horror hat vor klassischer Musik, die jedoch seinem Blues-Kollegen zusagt.

Diese partielle Gleichheit (der Interessen, Angelegenheiten usw.) ist so ungefähr das, wie der Ausdruck ‚Schnittmenge’ mittlerweile in den allgemeinen Sprachgebrauch übergegangen ist.

 

Fall 2:

<Immerhin gab [DGB-Chef] Sommer zu, dass es auch mit den Linken „in bestimmten Fragen inhaltliche Schnittmengen“ gebe.> (Der Tagesspiegel, 09.12.08)

Der Ausdruck ‚Schnittmenge’ hat offenbar seinen sprachlichen Platz erobert auf Kosten der biederen ‚Übereinstimmung’, die sich gegenüber der hochnäsigen ‚Schnittmenge’, mit ihrem modernen mathematischen Flair, nun ziemlich einfältig vorkommt.

 

Fall 3:

<Schnitt·men·ge die <Schnittmenge, Schnittmengen> math.: die Menge der Elemente, die zwei oder mehreren Mengen gleichzeitig angehören.>  (TheFreeDictionary.com Deutsches Wörterbuch. © 2008 Farlex, Inc. and partners.)

Man gehört mehreren Mengen gleichzeitig an. Man ist der Ausschnitt dessen, wo gleichzeitig zwei (oder mehr) Sachen zusammen bestehen: ich gehöre beispielsweise gleichzeitig zu den Katholiken und zu den Radfahrern (also zu den Rad fahrenden Katholiken) – gehöre also nur einem Ausschnitt aus der Menge aller Katholiken an (sofern nicht alle Katholiken Radfahrer sind) und gehöre außerdem nur einem Ausschnitt aus der Menge aller Radfahrer an (sofern nicht alle Radfahrer Katholiken sind).

 

Dieser Begriff von Schnittmenge, wie er hier verwandt wird – Gleichzeitigkeit der Zugehörigkeit zu zwei oder mehr (verschiedenen) Mengen - , entspricht dem, wie ich diesen Ausdruck, als Begriff aus der Mengenlehre und Logik, definiert sehen möchte. Die Frage ist, ob er mit den obigen Vorstellungen von Fall 1 und Fall 2 übereinstimmt oder nicht.

 

Fall 4:

<Operator UND bildet eine Schnittmenge… Beide Suchbegriffe müssen vorkommen, damit ein Dokument zur Schnittmenge gehört… Es sollen diejenigen Dokumente herausgesucht werden, bei denen das Wort Frühförderung und gleichzeitig das Wort Legasthenie in der bibliographischen Beschreibung vorkommt…Vergleich zur Alltagssprache: Auf dem Wochenmarkt kann man Äpfel und Birnen kaufen, aber ein Obst zu finden, auf das gleichzeitig das Kriterium Apfel und Birne zutrifft, ist schwierig.> (Zitat aus: Exkurs Was sind Operatoren.)

Auch hier wieder die Gleichzeitigkeit, diesmal von Eigenschaften (statt Zugehörigkeit zu Mengen).

Mit Hilfe einer Suchmaschine werden Dokumente, die sowohl das eine Wort als auch ein anderes Wort enthalten, gesucht – ausgewählt aus einer größeren Anzahl von Dokumenten, die die Suchmaschine kennt. Diese Schnittmengen-Dokumente stimmen lediglich darin überein, dass sie eine bestimmte Eigenschaft besitzen, nämlich dass in ihnen 2 bestimmte, verschiedene Wörter gleichzeitig vorkommen.

 

Ich denke, dass sich diese Begriffsverwendung (‚Eigenschaften’) mit der vorigen (‚Mengen’) vereinbaren lässt. Wenn man nämlich erwägt, dass jede dieser Eigenschaften eine Menge definiert, kommt man der Sache schon näher. Die eine Menge (F) sind alle Dokumente mit der Eigenschaft, dass sie das Wort „Frühförderung“ enthalten. Die andere Menge (L) sind alle Dokumente mit der Eigenschaft, dass sie das Wort „Legasthenie“ enthalten. Ein Dokument, das sowohl Element der einen Menge (F), als auch Element der anderen Menge (L) ist, gehört folglich zur Schnittmenge.

Umgekehrt kann man die Begriffsverwendung  (‚Mengen’) mit der  Begriffsverwendung (‚Eigenschaften’) vereinbaren. Denn die Menge aller Katholiken sind ja nichts anderes als spezielle Menschen mit der Eigenschaft katholisch zu sein. Oder die Menge aller Radfahrer sind spezielle Menschen mit der Eigenschaft ab und zu Fahrrad zu fahren.

 

Man sieht also, dass bei diesen letzteren Begriffsverwendungen (Fall 3 und Fall 4) zwei (oder mehr) verschiedene Eigenschaften notwendig sind, was gleichbedeutend damit ist, dass zwei (oder mehr) verschiedene Mengen existieren mit jeweils einer dieser Eigenschaften.

 

Die Frage ist nun: ist jene Begriffsverwendung des logischen ‚Und’ zweier (oder mehr) verschiedener Eigenschaften gleichbedeutend mit der Verwendung, wie wir sie oben in Fall 1 und Fall 2 finden? Also etwa Fall 2, wenn sich DGB-Chef Sommer zu den Linken (Partei ‚Die Linken’) äußert und zu bestimmten Fragen (Forderungen) ‚Schnittmengen’ sieht. Beispielsweise zur Frage des Mindestlohns und zur Frage von Rentenkürzungen sind die Forderungen gleich – in vielen anderen Fragen nicht. Es gibt also eine Gesamtmenge (D) aller Forderungen des DGB (Forderungen mit der Eigenschaft, zum DGB zu gehören) und eine Gesamtmenge (L) aller Forderungen der Linken (Forderungen mit der Eigenschaft, zu den Linken zu gehören). Es wird die Menge derjenigen Forderungen bestimmt, die Linke und DGB gleichzeitig aufstellen, die also identisch sind.

 

An diesem Punkt wird es kritisch. Denn Legasthenie und Frühförderung sind zwei völlig verschiedene Hüte, auch wenn sie miteinander kompatibel sind. Während identische Forderungen (von DGB und Linken) eben gleiche Hüte sind. Katholiken und Radfahrer sind ebenfalls zwei völlig verschiedene Hüte. Und da sie sich nicht notwendigerweise gegenseitig ausschließen, gibt es sie manchmal auch tatsächlich: die Rad fahrenden Katholiken. Doch sehe ich hier, bei jener Gleichzeitigkeit noch lange keine Gleichheit, keine Identität, keine Übereinstimmung der beiden Eigenschaften im Spiel. Das ist der Punkt, bei dem es bei mir hakt.

 

Man könnte sich eventuell aus dem Problem herauswinden, wenn man sagt: die Forderung X von den Linken (gefordert) ist immer noch was anderes als die identische Forderung X vom DGB (gefordert). Man sollte sie zur Unterscheidung besser X’ nennen. Und uns interessieren nun mal speziell solche Forderungen von der Form X~X’ (wobei die Tilde ~ die Bedeutung ‚analog’ hat: X ist analog zu X’) – und wir wollen dies gerne ‚Schnittmenge’ nennen, weil wir die schönen, einleuchtenden Venn-Diagramme im Mengenlehre-Unterricht kennen gelernt haben, und da war es auch nicht anders.

 

 

Deswegen komme ich jetzt zu den Venn-Diagrammen.

 

Mittlerweile hat sich offenbar auch der Ausdruck Venn-Diagramm in der Alltagssprache häuslich eingerichtet. Manch einer, der mit einem Overhead-Projektor oder Beamer umgehen kann, reichert seine  Präsentationen gerne mit ‚Venn-Diagrammen’ an. Das macht sich nicht nur als Illustration gut – der Ausdruck, eingestreut in die Vorführung: „Betrachten Sie bitte dieses Venn-Diagramm“,  hat außerdem ein schönes modernes mathematisches Flair, mit dem sich der Präsentierende schmücken kann. In dieser Verallgemeinerung ist mit ‚Venn-Diagramm’ gemeint: alles was irgendwie aus farbigen Kreisen (auch Ellipsen und/oder Rechtecken) besteht und sich überschneidet oder auch Kreise (Ellipsen, Rechtecke), die ineinander geschachtelt sind.

Aus dieser sozusagen verallgemeinerten - oder auch verwässerten - Vorstellung von ‚Venn-Diagramm’ möchte ich hier zur Illustration solche Venn-Diagramme darlegen, die tatsächlich mit dem Schnittmengen-Begriff zu tun haben. Es sei hier noch drauf hingewiesen, daß der englische Logiker John Venn sich im späten 19. Jahrhundert speziell dem Thema Schnittmengen gewidmet hat. Venn hatte den Ehrgeiz, zu beliebig vielen Mengen die Schnittmenge geometrisch zu konstruieren. Siehe hierzu den instruktiven Artikel in der englischen Wikipedia zum Thema “Venn diagram”.

Ich unterteile nun Schnittmengen-Venn-Diagramme in den Typus I (Identitätstyp) und den Typus II (Nicht-Identitätstyp).

 

Schnittmengentypus I (Identitätstyp):

 

1. Beispiel:

Da wäre als erstes und naheliegendstes Beipiel der Artikel in der Wikipedia über Mengenlehre. Dort findet sich auch ein Venn-Diagramm zur Schnittmenge. Das Bild hat den Titel: „180px-Venn0001.svg.png“ und sieht dann so aus:

Hier sieht man die Fläche, in welcher sich die beiden Kreise überschneiden, einfarbig in Rot markiert. Das kann meiner Ansicht nach nur bedeuten, dass es sich um identische Elemente handelt: also diejenigen Flächenpunkte (Koordinaten), die beide Kreise gemeinsam haben.

Nach meiner Vermutung kommt der Ausdruck ‚Schnittmenge’ aus dieser bildlichen Darstellung, dass sich zwei Kreise ‚überschneiden’.

 

2. Beispiel:

In Grundwissen Realschule 5. Klasse. wird ein Zahlenbeispiel gebracht, bei dem sich zwei Zahlenmengen überschneiden. Die bei beiden Mengen gleichen Zahlen bilden dann die ‘Schnittmenge’ - so wird der Ausdruck offenbar in der Schule gelehrt. Man könnte dies etwa folgendermaßen illustrieren:

Die zwei Zahlenmengen grün A  -> 5 bis 15 (=5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15) und rot B -> 11 bis 20 (=11,12,13,14,15,16,17,18,19,20) haben als die dritte Zahlenmenge die blauen Zahlen als  Schnittmenge S = A ∩ B, nämlich die  Zahlen 11,12,13,14,15 gemeinsam. Es handelt sich also um identische Elemente, d.h. diejenigen Zahlen, die beide Mengen A und B miteinander gemeinsam haben.

Und dies ist ganz offenbar eine übliche Schnittmengen-Darstellung, wie sie jedermann aus der Schule kennt, der dort Mengenlehre gelehrt bekommen hat. Insofern ist es verständlich, dass die in die Alltagssprache übergegangene Vorstellung der Schnittmenge, diejenige vom Typus I (Identität) ist.

 

3. Beispiel:

 

Nur dort, wo sich die Wünsche mit der Realität in Deckung bringen lassen, sind sie erfüllbar!

 

 

Schnittmengentypus II (Nicht-Identitätstyp):

 

1. Beispiel:

Aus Wikimedia Commons. Bild mit dem Titel „Image:Belief venn diagram.png“:

Die Message dieses Venn-Diagramms ist lehrreich. Meine Interpretation ist: Bewusstsein besteht einerseits aus Wahrheiten (Truth), andererseits aus Glaubensvorstellungen (Belief). All mein persönliches Wissen (Knowledge) ist zusammengesetzt einerseits aus einem Ausschnitt aus der Menge aller Wahrheiten (z.B. 1+1=2) und andererseits aus einem Ausschnitt aus der Menge aller Glaubensvorstellungen (z.B. der mir bekannte Wetterbericht für Übermorgen). Man könnte sagen: unser persönliches Wissen ist die Schnittmenge aus sicherem und unsicherem Wissen. Es besteht also definitiv aus verschiedenen Elementen, sofern man eine strikte Trennung ziehen kann zwischen sicherem und unsicherem Wissen. Es gibt somit keine Identität von Elementen aus dem Bereich Rot und Blau im Bereich Lila.

 

2. Beispiel:

CMYK color model (Wikipedia). CMYK - short for cyan, magenta, yellow, and key (black). Es geht um die separaten Farben, die etwa bei Ink-Jet-Druckern (z.B. von Canon) verwendet werden. Das Bild heißt „Color-subtractive-mixing -cropped.png” und ist nicht als Venn-Diagramm gemeint. Tatsächlich zeigt es aber mit Hilfe von „simulated glass“ auf, wie die drei Farben Gelb, Magenta und Cyan in ihrer Überlappung jeweils Mischfarben ergeben. Beim Drucken zeigt sich das als kleine Farbpartikel auf dem Papier der unterschiedlichen Farben CMY (falls das extra Schwarz K nicht mitbenutzt wird, um die innerste Schnittmenge=Schwarz zu ersetzen oder zu unterstützen). Man hat bei den jeweiligen Schnittmengen definitiv unterschiedliche Elemente: Beispielsweise besteht das untere Lila aus Farb-Partikeln der Tintenbehälter C und M zwischen denen keine Identität existiert. Lila ist als gedruckte Mischfarbe auf dem Papier also die Schnittmenge einer gewissen Anzahl von Farbpartikeln aus der Menge C einerseits und desweiteren aus einer anderen gewissen Anzahl von Farbpartikel aus der Menge M.

          

 

 

3. Beispiel:

 

Wie man erkennt, gibt es insgesamt 4 Schnittmengen. Angenommen, daß beispielsweise die innere, lila Schnittmenge mit Elementen aus A, B, C einige identische Elemente enthalten sollte, so sind es doch erst mal unterschiedene Elemente aus A, B, C, etwa ai, bi, ci. Daß gewisse Reihen ai, bi, ci von Elementen analog sind, und alle Elemente lückenlos in solche analogen Dreierreihen aufteilbar sind: das wäre ein absoluter Spezialfall, der aber keineswegs ausgeschlossen ist, und insofern zur Eigenart des Schnittmengentypus II  hinzugehört. Man müsste diesen Typus II also umbenennen in „prinzipielle Nichtidentität“, da als spezieller Fall auch Identität möglich ist.

 

 

Und das ist dann die Überleitung zu meiner Klärung des Problems.

 

Ich behaupte also, was üblicherweise als ‚Schnittmenge’ angesehen wird, also Schnittmengentypus I (Identitätstyp), ist lediglich ein Spezialfall von logischer Schnittmenge, nämlich beispielsweise, daß gewisse Reihen ai, bi, ci, … von Elementen zueinander analog sind, und alle Elemente der Schnittmenge lückenlos in solche (gleichanzahligen) analogen Reihen aufteilbar sind. Dafür wäre das typische Beispiel meiner Ansicht nach das obige 2. Beispiel vom Typus 1, das schulmäßige Zahlenbeispiel:

           

Das heißt, der eigentliche, logische, Begriff von ‚Schnittmenge’ ist der von Schnittmengentypus II (jetzt umbenannt in „prinzipielle Nicht-Identität“). Der Identitätstyp (Typus I) ist lediglich ein spezieller Fall von Typus II, d.i. Schnittmenge im eigentlichen, logischen Sinne.

 

Zum Herstellen der Identität (aus der Analogie) werden die einzelnen vorher sorgfältig unterschiedenen Elemente

  a1, b1, c1, …

  a2, b2, c2, …

  a3, b3, c3, …

zu     a,   b,   c, …

 

Dies kann man mit dem obigen 2. Beispiel für Zahlen exemplifizieren: Von Rechts wegen hätten in S jeweils 2 Elfer, 2 Zwölfer usw. sein müssen. Und die hätten jeweils entsprechend ihrer Herkunft unterschieden sein müssen. Etwa:

11A, 11B             12A, 12B              13A, 13B              14A, 14B               15A, 15B

Da für die reine Mathematik diese genaue Herkunftsbescheinigung jedoch normalerweise völlig uninteressant ist, werden die beiden zueinander analogen Zahlen (unterderhand) identisch gesetzt (und von diesem notwendigen Zwischenschritt erzählt einem natürlich nie jemand irgendwas):

    •   11A ~ 11B  = 11
    •   12A ~ 12B   = 12
    •   13A ~ 13B   = 13
    •                      usw.

 

Das heißt, das was üblicherweise als ‘Schnittmenge’ bezeichnet wird, ist eine spezielle Form von Schnittmengenbildung, bei der genau die analogen Elemente der beteiligten Mengen dazu dienen, eine Schnittmenge zu bilden. Diese analogen Elemente werden identifiziert und somit als gleiche Elemente angesehen.

Es werden beispielsweise von der Suchmaschine alle Dokumente durchsucht, um diejenigen herauszufiltern, die mit dem Dokument A mindestens 1 Wort gemeinsam haben. Wird sodann etwa bei Dokument X ein Wort gefunden, das einem Wort von A analog ist, so wird überprüft, ob man die beiden Wörter tatsächlich miteinander identifieren kann. Ist dies der Fall, so handelt es sich offenbar um das gleiche Wort und das Dokument X gehört nun zu einer speziellen Schnittmenge Sp von Dokumenten, die mit A dieses spezielle Wort gemeinsam haben.. 

 

Abschluß

 

Da diese Unterscheidung zwischen Typ I und Typ II von Schnittmengen üblicherweise nicht getroffen wird, sondern die meisten Verwender dieses Wortes glauben, Schnittmengen seien immer nur vom Typ I, kommt es denn zu einer  merkwürdigen Begriffsverwirrung, die offenbar kaum jemand so recht wahrnehmen, erst recht nicht genauer klären will. - Das ist ja auch durchaus verständlich, da kaum jemand einen praktischen Anlaß für eine diesbezügliche Klärung hat. Insofern scheint meine Auflösung des Problems höchstens rein theoretisch von Belang zu sein. Jedoch, abgesehen von der Bewußtseinsbildung, die durch solch eine überraschende Auslegung für einen rational denkenden Menschen interessant sein kann, ist meiner Ansicht nach der Beweis für die de Morganschen Gesetze ohne diese Enthüllung der Sachlage für den Laien-Mathematiker meines Ermessens nicht wirklich verstehbar. Denn über meine eigene Auseinandersetzung mit der Beweisführung der de Morganschen Gesetze (Thema: Logik / Mengenlehre) bin ich ja überhaupt erst auf diese Problematik gestoßen.

 

Zum Abschluß möchte ich noch das schöne bunte Glasfenster, das John Venn in Cambridge gewidmet ist, hier zeigen: Das Bild heißt „File:Venn-stainedglass-gonville-caius.jpg und stammt aus der Wikipedia.

Stained glass window at Gonville and Caius College, Cambridge, commemorating Venn and the Venn diagram: